A regressão sempre entrega um β̂ — não importa a pergunta que você fez. A questão que realmente importa é outra: esse número pode ser lido como "o efeito de X sobre Y", ou é só uma associação que esconde outra história por trás?
O OLS minimiza a soma dos quadrados dos resíduos e devolve um β̂ — sempre, para qualquer par de variáveis, mesmo sem sentido nenhum. O que ele mede, estritamente, é uma associação condicional: como a média de Y varia quando X varia, mantendo o resto constante nos dados que você tem. Causalidade é outra pergunta: o que aconteceria com Y se, hipoteticamente, mudássemos X — um experimento contrafactual que os dados observacionais, sozinhos, não mostram.
Rodar a regressão nunca falha. A pergunta certa não é "dá pra calcular?", é "esse número responde à pergunta causal que eu tenho?".
(a) Sem viés de variável omitida — nenhum confundidor não observado afeta X e Y ao mesmo tempo (é a exogeneidade, E[ε|X]=0). (b) Sem causalidade reversa — Y não afeta X. (c) Sem viés de seleção amostral — a amostra não foi montada de um jeito que depende de Y.
Nesse caso — e só nesse caso —, "um aumento de 1 unidade em X causa, em média, β̂ unidades de mudança em Y" é uma frase que os dados sustentam.
E significância estatística (t alto, p baixo) não resolve isso — um β̂ pode ser altamente "significativo" e, ainda assim, não ter nenhum significado causal.
Se existe um confundidor C que afeta Y (β₂ ≠ 0) e está correlacionado com X (δ₁ ≠ 0), a regressão curta "empresta" parte do efeito de C para X — porque X, estatisticamente, também carrega informação sobre C. O viés é exatamente o produto β₂·δ₁: quanto mais forte o efeito do confundidor e quanto mais correlacionado ele está com X, maior a distorção.
O sinal do viés é o sinal de β₂·δ₁. Se o confundidor afeta Y positivamente e está positivamente correlacionado com X, o β̂ curto vem inflado para cima. Se os sinais são opostos, o β̂ curto vem reduzido — podendo até trocar de sinal.
Essa é exatamente a hipótese de exogeneidade (E[ε|X] = 0) da animação sobre os pressupostos de Gauss-Markov. Quando ela falha — por variável omitida, causalidade reversa ou seleção —, o β deixa de ter interpretação causal, mesmo que os testes t e F continuem "passando". Significância estatística é sobre precisão; causalidade é sobre identificação — são problemas diferentes.
Geramos dados com um modelo causal verdadeiro Y = β₀ + β₁X + β₂C + erro, onde C é um confundidor que afeta Y e está correlacionado com X. Comparamos a regressão longa (Y em X e C — correta) com a regressão curta (Y só em X — omite C, como faria um pesquisador que não observa ou não pensa em controlar por C).
Exemplo clássico: policiamento e criminalidade. O efeito causal verdadeiro do policiamento sobre a criminalidade é negativo (mais policiamento reduz crime). Mas cidades com mais crime também contratam mais policiamento (causalidade reversa) — os dois efeitos acontecem ao mesmo tempo. O que uma regressão ingênua de criminalidade sobre policiamento encontra?
O problema aqui não é falta de dados — é que policiamento e criminalidade são determinados simultaneamente. Pesquisadores lidam com isso com desenhos como variáveis instrumentais (algo que muda o policiamento sem afetar diretamente o crime, como mudanças em regras de financiamento), experimentos naturais, ou dados em painel com choques exógenos — fora do escopo desta animação, mas essencial saber que essas ferramentas existem.
Cada unidade tem dois resultados potenciais: Y(1) se fosse tratada, Y(0) se não fosse. O "problema fundamental da inferência causal" é que nunca observamos os dois ao mesmo tempo para a mesma unidade — só um deles, o que de fato aconteceu. A saída é comparar grupos: se a decisão de quem é tratado for independente de tudo o mais (inclusive do que não observamos), a diferença de médias entre os grupos estima o efeito causal médio.
No braço observacional, quem "escolhe" o tratamento tende a ser sistematicamente diferente (o confundidor C empurra a escolha) — mesmo que C nunca apareça nos seus dados, ele contamina a comparação. No braço aleatorizado, o sorteio de moeda que decide quem é tratado não tem nenhuma relação com C — então, em média, os dois grupos ficam parecidos em tudo, observado ou não. É por isso que o experimento aleatorizado resolve o problema mesmo para confundidores que o pesquisador nunca mediu.
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