A matriz X deve ter posto completo — nenhuma variável explicativa pode ser combinação linear exata de outra(s). Caso contrário, (X'X)⁻¹ não existe e o OLS colapsa.
Multicolinearidade perfeita ocorre quando uma variável independente pode ser escrita como combinação linear exata das demais:
Quando isso acontece, a matriz X'X se torna singular (determinante = 0), e sua inversa não existe. Como o estimador OLS é β̂ = (X'X)⁻¹X'y, o cálculo simplesmente falha — não é possível separar o efeito individual de cada variável.
Idade e renda são correlacionadas mas não perfeitamente. A matriz X'X tem inversa; OLS funciona normalmente.
x₂ = 2·x₁ exatamente. As colunas de X são linearmente dependentes; det(X'X) = 0 e a inversa não existe.
Se você tem uma variável categórica com k categorias e inclui k dummies mais um intercepto, as dummies somam exatamente 1 (= o intercepto). Isso cria colinearidade perfeita. A solução é excluir uma categoria como referência, incluindo apenas k − 1 dummies.
Multicolinearidade imperfeita (alta correlação, mas não exata) não viola o pressuposto — o OLS ainda é BLUE. Porém, a variância dos estimadores aumenta, tornando-os imprecisos. A colinearidade imperfeita é um problema prático de eficiência, não uma violação teórica.
Controle a correlação entre x₁ e x₂. Quando a correlação se aproxima de ±1 (colinearidade perfeita), observe o que acontece com a matriz X'X e com a variância dos estimadores.
Conforme ρ → 1, o determinante de X'X → 0, os erros-padrão explodem, e o VIF (Variance Inflation Factor = 1/(1−ρ²)) dispara. No limite (ρ = 1), a inversa não existe e o OLS é impossível. Mas note: mesmo com ρ = 0.95, o OLS ainda funciona — apenas fica muito impreciso. O valor absoluto de det(X'X) depende da escala e do tamanho da amostra — por isso ele continua "grande" mesmo com ρ alto. O que importa é a queda relativa (percentual abaixo do valor), que cai na mesma proporção do VIF.
Clique em cada cenário para revelar a resposta.
Responda as questões abaixo sobre o pressuposto de não-colinearidade perfeita.