O modelo precisa ser linear em β, não necessariamente em x. Explore cada etapa para dominar esse conceito fundamental.
O primeiro pressuposto de Gauss-Markov exige que o modelo de regressão seja linear nos parâmetros (os coeficientes β). Isso significa que a variável dependente y é expressa como uma combinação linear dos β's, somada a um termo de erro:
A palavra-chave é parâmetros. As variáveis independentes x podem aparecer em formas não-lineares — como x², ln(x) ou 1/x — sem violar o pressuposto. O que importa é que os β's entrem de forma linear (somados e multiplicados por funções de x, sem β² ou β₁·β₂, por exemplo).
Pense nos β's como "pesos" em uma receita. A linearidade significa que a receita é somar ingredientes ponderados: β₁ porções de x₁, β₂ porções de x₂, etc. Os ingredientes (x's) podem ser preparados de qualquer forma (picados, assados, triturados), mas os pesos devem entrar de forma aditiva e simples.
Embora x² seja não-linear em x, o modelo é linear nos β's. Podemos renomear x² como z e temos y = β₀ + β₁x + β₂z + ε.
Aqui β₁ aparece como expoente. Não conseguimos isolar os β's em uma soma de termos — OLS não se aplica diretamente.
Ajuste os parâmetros β₀, β₁ e β₂ e observe como o modelo y = β₀ + β₁x + β₂x² se adapta aos dados. Mesmo com a curva, o modelo continua linear nos parâmetros.
Quando β₂ = 0, o modelo se reduz a uma reta. Ao aumentar β₂, surge uma curva — mas o modelo permanece linear nos parâmetros! A curvatura vem de x², não de β². O OLS continua sendo BLUE pois cada β aparece na primeira potência.
Clique em cada modelo para revelar se satisfaz ou não o pressuposto.
Responda as questões abaixo para fixar o conceito.