Ajuste do Modelo em Regressão

R² e R² Ajustado

O quanto o modelo explica da variação de y — e por que adicionar qualquer variável, útil ou não, sempre aumenta o R². É exatamente para corrigir essa ilusão que existe o R² ajustado.

O que o R² mede

Depois de estimar y = β₀ + β₁x₁ + ... + βₖxₖ + ε por OLS, uma pergunta natural é: o quanto desse modelo realmente ajuda a explicar y? O R² responde isso decompondo a variação total de y entre a parte que o modelo capta e a parte que sobra como erro.

R² = SSR / SST = 1 − SSE / SST SST = SSR + SSE — variação total = variação explicada + variação residual

Meça a variação total (SST)

SST = Σ(yᵢ − ȳ)² — o quanto y varia em torno da própria média, sem olhar para nenhum modelo.

Decomponha entre explicado e residual

SSR = Σ(ŷᵢ − ȳ)² é a parte que o modelo explica; SSE = Σ(yᵢ − ŷᵢ)² é o que sobra como erro. Sempre SST = SSR + SSE.

R² = fração explicada

R² = SSR/SST varia de 0 (modelo não explica nada) a 1 (modelo explica toda a variação de y).

Use o R² ajustado para comparar modelos

Ao comparar modelos com números diferentes de regressores, o R² ajustado penaliza a complexidade extra.

R²_ajustado = 1 − (1 − R²) · (n − 1)/(n − k − 1) k = número de regressores (sem contar o intercepto). A penalidade cresce com k e diminui com n.

✗ O que o R² NÃO diz

❌ NÃO diz se o modelo está corretamente especificado ou é causal — só mede ajuste dentro da amostra.
❌ NÃO mede a capacidade de prever observações fora da amostra (pode haver overfitting).
❌ NÃO é comparável entre regressões com variáveis dependentes diferentes, ou amostras diferentes.
❌ Um R² baixo NÃO significa necessariamente um modelo mal especificado — fenômenos com muita heterogeneidade individual são inerentemente ruidosos.

⚠️ Por que o R² sempre aumenta (e por isso existe o ajustado)

O OLS escolhe os coeficientes para minimizar SSE. Adicionar uma variável nunca pode piorar esse mínimo — no pior caso, seu coeficiente vai para ~0 e SSE não muda. Ou seja: R² nunca diminui ao adicionar regressores, mesmo quando eles não têm nenhuma relação real com y. O R² ajustado contrapõe isso com uma penalidade por cada regressor adicional.

Visualizando a decomposição da variância

Para o ponto destacado, a linha cinza mostra o desvio total (yᵢ − ȳ), a verde mostra o desvio explicado (ŷᵢ − ȳ) e a vermelha mostra o resíduo (yᵢ − ŷᵢ). A soma dos quadrados de cada tipo de desvio, somada sobre todos os pontos, dá SST, SSR e SSE.

Inclinação verdadeira (β₁)

β₁ = 1.40

Ruído (σ)

σ = 4.0

Desvio total (y − ȳ) Desvio explicado (ŷ − ȳ) Resíduo (y − ŷ)

SST = SSR + SSE

—

SST

—

SSR

—

SSE

—

R²

🔍 Observe

Aumente o ruído (σ) e veja o segmento vermelho (resíduo) crescer em relação ao verde (explicado) — o R² cai. Aumente β₁ e veja o oposto: a reta capta mais da variação, o segmento verde domina, e o R² sobe.

R² vs. R² ajustado ao adicionar variáveis irrelevantes

A amostra tem uma única variável com efeito real sobre y (x₁). A cada clique, adicionamos uma nova variável puramente aleatória — sem nenhuma relação com y — e reestimamos o modelo com todas as variáveis acumuladas até agora.

Amostra (n)

n = 40

R² R² ajustado

—

R² atual

—

R² ajustado atual

—

Regressores (k)

—

🔍 Observe

Clique em "Adicionar variável irrelevante" várias vezes. O R² (magenta) só sobe ou fica estável — nunca cai. O R² ajustado (azul) tende a cair conforme cada nova variável não compensa a penalidade pela complexidade extra.

💡 Regra prática

Se o R² ajustado cai ao adicionar uma variável, isso é evidência de que ela não contribui o suficiente para justificar sua presença no modelo — mesmo que o R² "bruto" tenha subido.

Interpretando Relatos Reais

Clique em cada cenário para ver se a afirmação está correta ou não.