O teste t responde se UM coeficiente é diferente de zero. Mas e quando queremos saber se VÁRIOS coeficientes, juntos, importam? O teste F compara um modelo restrito contra um modelo irrestrito — e é a ferramenta certa para testar hipóteses conjuntas.
O teste t testa um coeficiente por vez. Mas muitas perguntas em econometria são sobre grupos de variáveis: "essas três dummies de região, juntas, importam?", "esses termos polinomiais, como grupo, melhoram o modelo?", "o modelo inteiro explica alguma coisa?". Para isso, comparamos dois modelos — um restrito (impõe H₀) e um irrestrito (modelo completo) — e vemos se a perda de ajuste ao impor a restrição é grande demais para ser acaso.
H₀: β₁ = β₂ = ... = β_q = 0 (as q variáveis, juntas, não têm efeito).
H₁: pelo menos um βⱼ ≠ 0.
O restrito (remove as q variáveis, impondo H₀) e o irrestrito (modelo completo, com todas as variáveis).
Compara o quanto o SSR (soma dos quadrados dos resíduos) aumenta ao impor a restrição, relativo ao SSR que sobra por grau de liberdade no modelo irrestrito.
Se F > Fcrítico (ou p-valor < α), rejeitamos H₀ — as variáveis são conjuntamente significativas: juntas, melhoram o ajuste mais do que o esperado por puro acaso amostral.
Assim como o t, o F também é uma razão sinal-ruído — só que para um grupo de coeficientes. O numerador mede o ganho de ajuste por restrição liberada; o denominador mede a variância residual que sobra por grau de liberdade no modelo completo. Um F grande diz: o ganho de ajuste ao liberar essas q variáveis é grande demais, relativo ao ruído típico do modelo, para ser explicado por acaso.
F conjuntamente significativo não implica que cada β individual seja significativo no teste t — e vice-versa. Multicolinearidade entre as variáveis testadas pode inflar os erros-padrão individuais (t baixo para cada uma) mesmo quando, juntas, elas explicam muito do y (F alto). O F "enxerga" o efeito conjunto; o t, isoladamente, pode não conseguir separar a contribuição de cada variável.
F é uma razão de duas quantidades não-negativas (somas de quadrados divididas por graus de liberdade), então F ≥ 0 sempre. Evidência contra H₀ empurra F para cima — nunca para baixo. Por isso a região de rejeição fica inteira na cauda direita da distribuição F, diferente do teste t bilateral, que rejeita nas duas pontas.
Sob H₀, a estatística F segue uma distribuição F com q graus de liberdade no numerador (df₁) e n−k−1 no denominador (df₂). Ajuste os graus de liberdade e o nível de significância e observe como a forma da curva e a região de rejeição mudam.
A distribuição F é assimétrica à direita e sempre positiva. Com df₂ pequeno, a cauda direita é bem mais pesada — exigindo valores maiores de F para rejeitar H₀. Conforme df₂ cresce, a curva se aproxima da forma de uma qui-quadrado dividida por df₁.
Geramos dados com y = β₀ + β₁x₁ + (q variáveis extras com coeficiente comum βextra) + erro. x₁ está sempre no modelo restrito. As q variáveis extras só entram no modelo irrestrito — são exatamente as que o teste F avalia. Ajuste βextra para 0 e veja H₀ ser verdadeira; aumente-o para ver o poder do teste.
O teste F é mais geral do que parece à primeira vista — engloba o teste t como caso particular e serve para testar qualquer restrição linear sobre os coeficientes.
Testar um único coeficiente (q = 1) com o teste F dá exatamente a mesma conclusão que o teste t bilateral — porque, matematicamente, F(1, df₂) = t(df₂)². O teste F é, de fato, uma generalização do teste t para múltiplas restrições simultâneas.
Ajuste os controles para comparar.
Caso especial muito usado: H₀: β₁ = β₂ = ... = β_k = 0 (todos os coeficientes de inclinação, ao mesmo tempo). Aqui q = k, e o modelo restrito é só o intercepto (prever y pela própria média). É o "Prob(F-statistic)" que aparece em toda saída de regressão (Stata, EViews, R) — responde: o modelo, como um todo, explica alguma coisa sobre y? Um F global significativo não diz quais variáveis importam — só que o conjunto, junto, tem poder explicativo além do acaso.
O teste F não se limita a "coeficiente = 0". Ele testa qualquer conjunto de restrições lineares — por exemplo, H₀: β₁ = β₂ (dois efeitos são iguais) ou H₀: β₁ + β₂ = 1 (retornos constantes de escala). A lógica é sempre a mesma: estime o modelo impondo a restrição (irrestrito vira restrito), compare o SSR dos dois modelos, calcule F. Esse é o princípio por trás do teste de Chow para quebra estrutural, por exemplo.
Clique em cada cenário para ver a interpretação correta do teste F.