Inferência em Regressão Linear

Teste de Hipóteses e a Estatística t

O coeficiente β̂ é significativamente diferente de zero? A estatística t responde essa pergunta fundamental — e é a base de toda inferência em econometria.

A lógica do teste de hipóteses

Quando estimamos y = β₀ + β₁x + ε por OLS, obtemos β̂₁. Mas β̂₁ é uma estimativa amostral — varia de amostra para amostra. A pergunta-chave é: o valor que encontramos é evidência suficiente de que β₁ ≠ 0 na população, ou pode ser apenas flutuação amostral?

Formular as hipóteses

H₀: β₁ = 0 (x não tem efeito sobre y — hipótese nula).
H₁: β₁ ≠ 0 (x tem efeito sobre y — hipótese alternativa bilateral).

Calcular a estatística t

Mede quantos erros-padrão o β̂₁ está afastado do valor hipotético (zero).

Comparar com o valor crítico

Se |t| > t_crítico (ou se p-valor < α), rejeitamos H₀. O coeficiente é estatisticamente significativo.

Interpretar o resultado

Rejeitar H₀ não prova que β₁ é grande ou importante economicamente — apenas que é estatisticamente distinto de zero nesta amostra.

t = (β̂₁ − β₁⁰) / SE(β̂₁) = β̂₁ / SE(β̂₁) Sob H₀: β₁⁰ = 0, com distribuição t de Student com n − k graus de liberdade

💡 Intuição

O t-stat é uma razão sinal-ruído. O numerador (β̂₁) é o "sinal" — quanto efeito detectamos. O denominador SE(β̂₁) é o "ruído" — quanta incerteza temos sobre a estimativa. Um t grande significa sinal forte em relação ao ruído. Regra prática: |t| > 2 geralmente indica significância a 5%.

⚠️ Erros Tipo I e Tipo II

Erro Tipo I (α): rejeitar H₀ quando ela é verdadeira (falso positivo). Com α = 5%, aceitamos 5% de chance disso.
Erro Tipo II (β): não rejeitar H₀ quando ela é falsa (falso negativo). O poder do teste = 1 − β é a probabilidade de detectar um efeito real.

A Distribuição t de Student

Sob H₀, a estatística t segue uma distribuição t com n − k graus de liberdade (gl). Compare a t com a Normal padrão e veja como as caudas mudam com os graus de liberdade.

Graus de liberdade (n − k)

gl = 25

Nível de significância α

α = 0.05

t de Student Normal(0,1) Região de rejeição

—

t crítico (bilateral)

—

Graus de liberdade

—

Área cada cauda

🔍 Observe

Com poucos graus de liberdade, a distribuição t tem caudas mais grossas que a Normal — exigindo valores maiores de |t| para rejeitar H₀. Conforme gl → ∞, a t converge para a Normal.

Simulação: Regressão e Teste t

Ajuste o β₁ verdadeiro, o tamanho da amostra e o nível de ruído. Observe a regressão OLS, a estatística t e se H₀ é rejeitada.

β₁ verdadeiro

β₁ = 1.00

Ruído (σ)

σ = 3.00

Amostra (n)

n = 40

—

β̂₁

—

SE(β̂₁)

—

t-stat

—

p-valor

—

R²

Clique em "Estimar" para gerar uma amostra

Poder do Teste

O poder é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é falsa. Depende de três fatores: o tamanho do efeito (β₁), o nível de ruído (σ) e o tamanho da amostra (n). Explore como cada fator afeta o poder.

β₁ verdadeiro

β₁ = 0.80

σ (ruído)

σ = 3.0

n (amostra)

n = 50

Distribuição sob H₁ (β₁ real) Distribuição sob H₀ Poder = P(rejeitar H₀ | H₁)

—

Poder (1−β)

—

t não-central (δ)

—

t crítico

💡 Fatores que aumentam o poder

↑ β₁: efeito maior é mais fácil de detectar.
↓ σ: menos ruído = sinal mais claro.
↑ n: mais dados = SE menor = t maior.
A razão β₁/σ é o "tamanho do efeito padronizado". Multiplicada por √n, dá a não-centralidade δ ≈ (β₁/σ)·√(Σx²), que governa o poder.

Interpretando Resultados Reais

Clique em cada cenário para ver a interpretação correta do teste t.