O teste F precisa estimar dois modelos — restrito e irrestrito. O teste de Wald responde à mesma pergunta usando só o modelo irrestrito, medindo a distância entre a estimativa e a hipótese, ponderada pela incerteza da estimativa.
O teste F (veja a animação anterior) compara o SSR de dois modelos — é preciso estimar ambos. O teste de Wald toma um atalho: estima só o modelo irrestrito e pergunta — a estimativa β̂ está "longe demais" do valor que a hipótese H₀ diz que deveria ser, considerando a precisão (covariância) dessa estimativa? Não é preciso reestimar nada sob a restrição.
H₀: Rβ = r — R é uma matriz q×k que seleciona/combina os coeficientes testados, r é o vetor de valores hipotéticos (geralmente zero). q é o número de restrições.
Obtenha β̂ (OLS completo) e sua matriz de covariância estimada Var̂(β̂) = σ̂²(X'X)⁻¹. Nenhum modelo restrito é necessário.
Mede a distância entre Rβ̂ e r, ponderada pelo quão precisa é essa combinação de coeficientes (o "peso" é o inverso da covariância).
Assintoticamente, W ~ χ²(q) sob H₀. Se W > χ²crítico(q), rejeita H₀ — conclusão assintoticamente equivalente à do teste F.
Assim como t e F, o Wald também é uma razão sinal-ruído — só que em versão matricial. "Sinal" é a distância entre Rβ̂ e r; "ruído" é a incerteza dessa combinação linear de coeficientes, dada por R·Var̂(β̂)·R'. Quando os coeficientes testados são correlacionados entre si, essa matriz de covariância "sabe disso" — o Wald não trata cada coeficiente isoladamente, mas o conjunto, com sua estrutura de correlação.
Wald, Razão de Verossimilhança (LR) e Multiplicador de Lagrange (LM/escore) são três testes assintoticamente equivalentes, cada um olhando a verossimilhança de um jeito diferente: Wald usa só o modelo irrestrito; LR compara as verossimilhanças dos dois modelos (é o análogo, em máxima verossimilhança, do teste F); LM usa só o modelo restrito. No modelo linear clássico com erros normais, o teste F é exatamente a versão de amostra finita do Wald — veja a aba "Wald vs F".
Por não exigir reestimar o modelo sob a restrição, o Wald é a ferramenta natural para restrições não-lineares (ex.: H₀: β₁/β₂ = 1, ou H₀: β₁·β₂ = 1 — reestimar um modelo assim sob restrição pode ser difícil ou até inviável) e para modelos de máxima verossimilhança caros de reestimar. Também se generaliza facilmente para matrizes de covariância robustas (heterocedasticidade, cluster, HAC) — basta trocar Var̂(β̂).
(1) Amostras pequenas: o χ²(q) é uma aproximação assintótica — em amostras pequenas, o Wald tende a rejeitar H₀ com mais frequência do que deveria (ver aba "Wald vs F"). (2) Falta de invariância: para restrições não-lineares, a estatística W pode mudar dependendo de como a restrição é escrita algebricamente (H₀: β₁/β₂=1 vs H₀: β₁−β₂=0 não são idênticas em amostra finita) — um problema que o teste LR não tem.
Sob H₀, a estatística de Wald segue assintoticamente uma distribuição χ² com q graus de liberdade (o número de restrições testadas). Assim como o F, o χ² é sempre positivo e a rejeição ocorre inteiramente na cauda direita.
Com q pequeno, a distribuição χ² é bem assimétrica, concentrada perto de zero com uma cauda longa à direita. Conforme q aumenta, a curva fica mais "normal" (mais simétrica e centrada em torno de q) — é o efeito do Teorema Central do Limite atuando sobre a soma de q quadrados de normais.
Mesmos dados da animação do teste F: y = β₀ + β₁x₁ + (q variáveis extras com coeficiente comum βextra) + erro. Mas aqui calculamos W usando apenas o modelo irrestrito — β̂ e sua matriz de covariância Var̂(β̂) = σ̂²(X'X)⁻¹ — sem nunca estimar o modelo restrito.
No modelo linear clássico, usando a mesma variância estimada σ̂² = SSRur/(n−k−1) nos dois cálculos, vale a identidade W = q·F exatamente — não apenas assintoticamente. A diferença entre os dois testes está só na distribuição de referência usada para o p-valor: χ²(q) (aproximação assintótica) vs F(q, n−k−1) (exata em amostra finita, sob normalidade dos erros).
Como W = q·F sempre, a única diferença prática é o valor crítico usado. Compare χ²crítico(q) com q·Fcrítico(q, df₂) conforme df₂ (essencialmente, o tamanho da amostra) cresce — e veja, por simulação, como isso afeta a taxa de rejeição real do teste quando H₀ é verdadeira.
Clique em cada cenário para ver a interpretação correta do teste de Wald.